คณิตศาสตร์น่ารู้ (Mathematics Education)

เซต

เซต (อังกฤษ : set) ในทางคณิตศาสตร์นั้น อาจมองได้ว่าเป็นการรวบรวมกลุ่มวัตถุต่างๆ ไว้รวมกันทั้งชุด แม้ว่าความคิดนี้จะดูง่ายๆ แต่เซตเป็นแนวคิดที่เป็นรากฐานสำคัญที่สุดอย่างหนึ่งของคณิตศาสตร์สมัยใหม่ การศึกษาโครงสร้างเซตที่เป็นไปได้ ทฤษฎีเซตมีความสำคัญและได้รับความสนใจอย่างมากและกำลังดำเนินไปอย่างต่อเนื่อง มันถูกสร้างขึ้นมาตอนปลายคริสต์ศตวรรษที่ 19 ตอนนี้ทฤษฎีเซตเป็นส่วนที่ขาดไม่ได้ในการศึกษาคณิตศาสตร์ และถูกจัดไว้ในระบบการศึกษาตั้งแต่ระดับประถมศึกษาในหลายประเทศ ทฤษฎีเซตเป็นรากฐานของคณิตศาสตร์เกือบทุกแขนงซึ่งสามารถนำไปประยุกต์ใช้ได้

นิยาม

ตอนเริ่มแรกของ Beiträge zur Begründung der transfiniten Mengenlehre โดย เกออร์ก คันทอร์ (Georg Cantor) ผู้สร้างทฤษฎีเซตคนสำคัญ ให้นิยามของเซตเซตหนึ่งดังต่อไปนี้

โดย "เซต" เซตหนึ่ง เราหมายถึงการสะสมรวบรวมใดๆ ที่ให้ชื่อว่า M เข้าเป็นหน่วยเดียวกันทั้งหมด ของวัตถุที่ให้ชื่อว่า m ที่แตกต่างกัน (ซึ่งเรียกว่า "สมาชิก" ของ M) ตามความเข้าใจของเรา หรือตามความคิดของเรา

ดังนั้นสมาชิกของเซตเซตหนึ่งจึงสามารถเป็นอะไรก็ได้ เช่น ตัวเลข ผู้คน ตัวอักษร หรือเป็นเซตของเซตอื่น เป็นต้น เซตนิยมเขียนแทนด้วยอักษรตัวใหญ่ เช่น A, B, C ฯลฯ ตามธรรมเนียมปฏิบัติ ในประโยคที่ว่า เซต A และ B เท่ากัน หมายความว่า ทั้งเซต A และเซต B มีสมาชิกทั้งหมดเหมือนกัน (ตัวอย่างเช่น สมาชิกทุกตัวที่อยู่ในเซต A ก็ต้องเป็นสมาชิกของเซต B ด้วย เขียนแทนด้วย A = B และในทางกลับกันก็เป็นเช่นเดียวกัน เขียนแทนด้วย B = A)

สมาชิกทุกตัวของเซตเซตหนึ่งต้องไม่ซ้ำกัน และจะไม่มีสมาชิกสองตัวใดในเซตเดียวกันที่เหมือนกันทุกประการ ซึ่งไม่เหมือนกับมัลทิเซต (multiset) ที่อาจมีสมาชิกซ้ำกันก็ได้ การดำเนินการของเซตทั้งหมดยังรักษาคุณสมบัติที่ว่าสมาชิกแต่ละตัวของเซตต้องไม่ซ้ำกัน ส่วนการเรียงลำดับของสมาชิกของเซตนั้นไม่มีความสำคัญ ซึ่งต่างจากลำดับอนุกรมหรือคู่อันดับ

ถึงอย่างไรก็ตามเซตถือว่าเป็น อนิยาม ไม่มีนิยามที่ชัดเจนและครอบคลุม

คำศัพท์และสัญลักษณ์ของเซต

1. เราอาจจะคิดว่าเซต คือ กลุ่มของสิ่งต่างๆซึ่งมีกฎเกณฑ์ชัดเจนว่าสิ่งใดอยู่ในเซตและสิ่งใดไม่ได้อยู่ในเซต สิ่งที่อยู่ในเซตเรียกว่าสมาชิกของเซต โดยทั่วไปจะแทนเซตด้วยตัวอักษรภาษาอังกฤษตัวพิมพ์ใหญ่ เช่น A,B,C และแทนสมาชิกของเซตซึ่งยังไม่เจาะจงว่าคือตัวอะไรด้วยอักษรภาษาอังกฤษตัวพิมพ์เล็ก เช่น a,b,c

2. วิธีเขียนเซต มีอยู่ 3 แบบ

· แบบข้อความ อธิบายเซตด้วยถ้อยคำ

· แบบแจกแจงสมาชิก เขียนสมาชิกทั้งหมดภายใต้ปีกกา {} และใช้จุลภาคคั่งระหว่างคู่

· แบบบอกเงื่อนไขของสมาชิก เขียนเซตในรูปแบบ {x | เงื่อนไขของ x}

3. สมาชิกของเซตเป็นจำนวนหรือสิ่งใดก็ได้ เป็นเซตก็ได้

4. เซตที่เท่ากัน เซตจะแตกต่างกันหรือไม่ขึ้นอยู่กับว่าสมาชิกต่างกันหรือไม่ โดยเซตสองเซตจะเท่ากันเมื่อมีสมาชิกเหมือนกัน

5. เซตจำกัดและเซตอนันต์ เซตจำกัดคือเซตที่เราสามารถระบุได้ว่ามีสมาชิกกี่ตัว เซตอนันต์คือเซตที่ไม่ใช่เซตจำกัด

6. เซตว่างคือเซตที่ไม่มีสมาชิกเลย

7. เอกภพสัมพันธ์ คือเซตที่ใช้กำหนดขอบเขตของสิ่งที่กำลังพิจารณา แทนด้วย U

8. เซตของจำนวนบางชนิด เช่น N = เซตของจำนวนนับ, I = เซตของจำนวนเต็ม, Q = เซตของจำนวนตรรกยะ, R = เซตของจำนวนจริง, C = เซตของจำนวนเชิงซ้อน

9. สับเซต A เป็นสับเซตของ B หมายความว่าสมาชิกทุกตัวของ A เป็นสมาชิกของ B

10. เพาเวอร์เซต ของ A คือเซตที่ประกอบด้วยสับเซตทั้งหมดของ A เขียนแทนโดย P(A)

การดำเนินการของเซต

1. ยูเนียน ของ A และ B คือเซตที่เกิดจากการรวบรวมสมาชิกของ A และ B เข้าไว้ด้วยกัน

2. อินเตอร์เซกชัน ของ A และ B คือเซตที่ประกอบด้วยสมาชิกที่เหมือนกันของ A และ B

3. ผลต่าง A – B คือเซตที่ประกอบด้วยสมาชิกของ A ที่ไม่ใช่สมาชิกของ B

4. คอมพลีเมนต์ ของ A เขียนแทนด้วย A’ คือสับเซตของ U ที่ประกอบด้วยสมาชิกที่ไม่อยู่ ใน A

การนับจำนวนสมาชิกของเซต

1. ถ้า A เป็นเซตจำกัด เราใช้สัญลักษณ์ n(A) หรือ |A| แทนจำนวนสมาชิกของ A

2. การนับจำนวนสมาชิกของ U ที่ไม่อยู่ใน A อาจใช้สูตร n(A’) = n(U)-n(A)

เซต

ใช้แทนกลุ่มของคน,สัตว์,สิ่งของ หรือสิ่งที่เราสนใจ เราใช้เครื่องหมายปีกกา“{ } ”

แสดงความเป็นเซต และสิ่งที่อยู่ภายในปีกกา เราเรียกสมาชิกของเซต

เซตที่เท่ากัน

เซต 2 เซตจะเท่ากันก็ต่อเมื่อจำนวนสมาชิกและสมาชิกของทั้ง 2 เซต เหมือนกันทุกตัว
เช่น A={1,2,3} B={1,2,3} จะได้ A=B

เซตที่เทียบเท่ากัน

เซต 2 เซตจะเทียบเท่ากันก็ต่อเมื่อ จำนวนสมาชิกของทั้ง 2 เซต เท่ากัน
เช่น A={a,b,c} , B={1,2,3}
จำนวนสมาชิกของ A= จำนวนสมาชิกของ B= 3 ตัว
n( A ) = n ( B ) = 3
ดังนั้น A เทียบเท่ากับเซต B

เซตจำกัด
เซตใดๆเป็นเซตจำกัดก็ต่อเมื่อ เรารู้จำนวนสมาชิกของเซตนั้นแน่นอน
เช่น A={1,2,3,…,100} จะได้ n(A)=100 A เป็นเซตจำกัด

เซตอนันต์
เซตใดๆ จะเป็นเซตอนันต์ ก็ต่อเมื่อ จำนวนสมาชิกของเซตนั้นมากจนหาค่าไม่ได้
เช่น A={1,2,3,…} จะได้ A เป็นเซตอนันต์

เซตว่าง

เซตว่าง คือ เซตที่ไม่มีสมาชิกอยู่เลย เช่น { } = 0
ใช้    R     แทนจำนวนจริง
Q    แทนจำนวนตรรกยะ
I   แทนจำนวนเต็ม

สัญลักษณ์ที่ใช้แทนเซตจำนวน

วิธีการเขียนเซต

ใช้การแจกแจง X=1,2,3 A ={1,2,3} โดย X ⊂ A
เขียนแบบบอกเงื่อนไขการเขียนเซตแบบกำหนดเงื่อนไขมีวิธีการเขียนดังนี้

1.เขียนวงเล็บปีกกา
2.เขียนตัวแปร
3.เขียนสัญลักษณ์ “ | ” ตามหลังตัวแปร สัญลักษณ์ตัวนี้อ่านว่า โดยที่
4.เขียนข้อความบรรยายเงื่อนไขตัวแปร ซึ่งเป็นเงื่อนไขของการเป็นสมาชิกของเซตนั้น
5.เขียนวงเล็บปีกกาปิด
ตัวอย่างเช่น
A = {X | X เป็นจำนวนคู่บวกที่น้อยกว่า 10}
เมื่อเขียน A ในแบบแจกแจงสมาชิกจะได้ดังนี้
A ={2,4,6,8}

สับเซต

ถ้าสมาชิกทุกตัวของ A เป็นสมาชิกของ B แล้ว จะเรียกว่า A เป็นสับเซตของ B จะเขียนว่า
เซต A เป็นสับเซตของเซต B แทนด้วย A
เซต A เป็นสับเซตของเซต B แทนด้วย A ⊂ B
เซต A ไม่เป็นสับเซตของเซต B แทนด้วย A ⊄ B
หมายเหตุ
1. เซตทุกเซตเป็นสับเซตของตัวมันเอง (A ⊂ A)
2. เซตว่าง เป็นสับเซตของทุก ๆ เซต (ø
2. เซตว่าง เป็นสับเซตของทุก ๆ เซต (ø ⊂ A)
3. ถ้า A
3. ถ้า A ⊂ ø แล้ว A = ø
4. ถ้า A
4. ถ้า A ⊂ B และ B ⊂ C แล้ว A ⊂ C
5. A = B ก็ต่อเมื่อ A
5. A = B ก็ต่อเมื่อ A ⊂ B และ B ⊂ A

ถ้าสมาชิกบางตัวของ A ไม่เป็นสมาชิกของ B จะเรียกว่า A ไม่เป็นสับเซตของ B

เพาเวอร์เซต
คำว่า เพาเวอร์เซต เป็นคำศัพท์เฉพาะ ซึ่งใช้เป็นชื่อเรียกเซตเซตหนึ่งที่เกี่ยวข้องกับเรื่องสับเซต
เพาเวอร์เซตของ A เขียนแทนด้วย P(A)
P(A) คือเซตที่มีสับเซตทั้งหมดของ A เป็นสมาชิก

การดำเนินการบนเซต
ทำได้4วิธี
1.ยูเนียน (union)
2.อินเตอร์เซคชัน (intersection)
3.คอมพลีเมนท์ (complement)
4.ผลต่าง (difference)

1 ยูเนียน A ∪ B = {x|x เป็นสมาชิกของ A หรือ x เป็นสมาชิกของ B}

2 อินเตอร์เซคชัน A ∩ B ={x| x เป็นสมาชิกของ A และ xเป็นสมาชิกของ B}

3 คอมพลีเมนท์ A´ ={x| x เป็นสมาชิกของ U แต่ x ไม่เป็นสมาชิกของ A}

4 ผลต่าง A-B = {x| x เป็นสมาชิกของ A แต่ไม่เป็นสมาชิกของ B }

ข้อควรรู้

ø´ = U U´ = ø
A – ø = A ø – A = A

การพิสูจน์การเท่ากันของเซต
ทำได้ 2 วิธี

1.ใช้แผนภาพเวนน์-ออยเลอร์
2.ใช้สมบัติการดำเนินการบนเซต

สมบัติการดำเนินการบนเซต
สมบัติพื้นฐาน

A∪∅ = A , A∪U = U

A∩∅ = ø , A∩U = U

A∪B∪C = (A∪B)∪C = A∪(B∪C) = (A∪C)∪B

A∩B∩C = (A∩B)∩C = A∩(B∩C) = (A∩C)∩B

A∪(B∩C) = (A∪B)∩(A∪C)

A∩(B∪C) = (A ∩B)∪(A∩C)

(A´)´ = A (A∪B)´ = A´∩B´

(A∩B) ´ = A´∪B´

A-B = A∩B´

เพิ่มเติม

A ⊂ B แล้ว 1. A – B = ø
2. A∩B = A
3. A∪B = B

การหาจำนวนเซตแบบประยุกต์
1) กำหนด n(A) = n , n(B) = m โดยที่ A ⊂ B
จำนวนเซต X ซึ่ง A ⊂ X ⊂ B = 2 n(B) – n(A) = 2 m – n เซต
2) กำหนด n(A) = n , n(B) = m โดยที่ A ⊂ B
จำนวนเซต X ซึ่ง A Ë X แต่ X ⊂ B = 2 n(B) – 2 n(B) – n(A) =2 m- 2 m – n เซต

การหาจำนวนสมาชิกของเซตจำกัด
1) 2 เซต
- n (A∪B) = n(A) + n(B) –n(A∩B)
- n [(A-B) ∪ (B-A)] = n(A) + n(B) –2[n(A∩B)]
2) 3 เซต
- n (A∪B∪C) = n(A) + n(B) +n(C)-n(A∩B) – n(A∩C) – n(B∩C) + n(A∩B∩C)

การดำเนินการของเซต

เซตเซตหนึ่งจึงสามารถเป็นอะไรก็ได้ เช่น ตัวเลข ผู้คน ตัวอักษร หรือเป็นเซตของเซตอื่น เป็นต้น เซตนิยมเขียนแทนด้วยอักษรตัวใหญ่ เช่น A, B, C ฯลฯ ตามธรรมเนียมปฏิบัติ ในประโยคที่ว่า เซต A และ B เท่ากัน หมายความว่า ทั้งเซต A และเซต B มีสมาชิกทั้งหมดเหมือนกัน (ตัวอย่างเช่น สมาชิกทุกตัวที่อยู่ในเซต A ก็ต้องเป็นสมาชิกของเซต B ด้วย เขียนแทนด้วย A = B และในทางกลับกันก็เป็นเช่นเดียวกัน เขียนแทนด้วย B = A)

แบบฝึกหัดเรื่องเซต