คณิตศาสตร์น่ารู้ (Mathematics Education)

วันพุธที่ 25 กันยายน พ.ศ. 2556

อินเวอร์ส

1.หาอินเวอร์สของฟังก์ชันที่กำหนดให้
2. บอกความหมายของฟังก์ชันอินเวอร์สได้
3. บอกได้ว่าฟังก์ชันที่กำหนดให้มีฟังก์ชันอินเวอร์สหรือไม่
4. บอกโดเมนและเรนจ์ของฟังก์ชันอินเวอร์ส
5. เขียนกราฟของฟังก์ชันอินเวอร์ส

เนื่องจากฟังก์ชันเป็นความสัมพันธ์ ดังนั้นจึงถือว่าอินเวอร์สของฟังก์ชันเป็นความสัมพันธ์
แต่มีข้อที่น่าสังเกตคืออินเวอร์สของฟังก์ชันไม่จำเป็นต้องเป็นฟังก์ชันเสมอไป
ตัวอย่าง
f={(1,2),(2,3),(3,4)} เป็นฟังก์ชัน และ
f^-1={(2,1),(3,2),(4,3)}เป็นฟังก์ชัน
สำหรับ g ={(1,2),(2,3),(3,2)} เป็นฟังก์ชันแต่ g^-1={(2,1),(3,2),(2,3)} ไม่เป็นฟังก์ชัน
ในที่นี้ เรียกอินเวอร์สของฟังก์ชันที่เป็นฟังก์ชันว่า "ฟังก์ชันอินเวอร์ส" ซึ่งฟังก์ชันที่เป็นอินเวอร์สได้นั้น

ต้องเป็นฟังก์ชันหนึ่งต่อหนึ่ง

อินเวอร์ส

อินเวอร์สของเมตริกซ์ในที่นี้ หมายถึงอินเวอร์สของการคูณของเมตริกซ์ ซึ่งเมตริกซ์ที่จะหาอินเวอร์สได้นั้นจะต้องมีค่ากำหนดไม่เท่ากับศูนย์ อินเวอร์สของเมตริกซ์ A จะใช้สัญญาลักษณ์ A^-1 ทั้งนี้ A A^-1= A^-1A

เราจะเรียก k ว่าเป็นอินเวอร์สการคูณของ a และเขียน k แทนด้วย a^-1 และเพราะว่า a.1 = 1.a = a ทุก ๆ ค่า a เราเรียก 1 ว่าเป็น เอกลักษณการคูณของจำนวนจริง

แบบฝึกหัด

เฉลยแบบฝึกหัด

ที่มา http://www.youtube.com/watch?v=QLXnA6pb1nY

http://dit.dru.ac.th/function/detial4.html#ex3p91.html

http://suwimon030835.blogspot.com/

http://www.thaigoodview.com/library/teachershow/utaradit/prakong_s/function_22.html

วันที่ 25/9/2556

ฟังก์ชันคอมโพสิท (Composite Function)

เป็นการกระทำกันระหว่างฟังก์ชันตั้งแต่ 2 ฟังก์ชันขึ้นไป

ให้ f และ g เป็นฟังก์ชัน สำหรับฟังก์ชันที่เป็นเซตแบบแจกแจงเช่น

   f = {(1,3),(2,4),(3,5)}

   g = {(5,1),(3,2),(4,3)}

เราสามารถสร้างฟังก์ชันขึ้นมาใหม่ เรียกว่า gof (จีโอเอฟ) แต่ผมมักจะเรียกไปเลยว่า ก็อฟ

gof เป็นฟังก์ชันจาก f ไปยัง g

จะได้       gof = {(1,2),(2,4),(3,1)}

(gof)(1) = g(f(1)) = g(3) = 2

(gof)(2) = g(f(2)) = g(4) = 3

(gof)(3) = g(f(3)) = g(5) = 1

นิยาม ให้ f และ g เป็นฟังก์ชัน และ R _f∩ D_g ฟังก์ชันคอมโพสิทของ f และ g
เขียนแทนด้วย gof  กำหนด (gof)(x) = g(f(x)) ซึ่ง f(x) ∈ D_g

ตัวอย่างที่ 1 กำหนด f = {(1,2),(3,4),(5,6),(7,8)}

                                  g = {(2,a),(4,b),(7,c),(8,d)}

จงหา (gof)(1) , (gof)(3) , (gof)(7) พร้อมทั้งหา gof และ fog

วิธีทำ   gof เป็นฟังก์ชัน จาก f ไป g

R _f = {2,4,6,8} ,  D_g= {2,4,7,8}

R _f∩ D_g= {2,4,8}  ≠ Ø แสดงว่าหา gof ได้

(gof)(1) = g(f(1)) = g(2) = a

(gof)(3) = g(f(3)) = g(4) = b

(gof)(7) = g(f(7)) = g(8) = d

ดังนั้นจะได้ gof = {(1,a),(3,b),(7,d)}

fog เป็นฟังก์ชันจาก g ไป f

R_g= {a,b,c,d} ,  D_f={1,3,5,7}

R_g∩ D_f = Ø

แสดงว่าหา fog   ไม่ได้

ตัวอย่างที่ 2 กำหนดให้ f(x) = 3x-5 , g(x) = 1/x-3

จงหา gof , fog , (gof)(3) , (fog)(2)

วิธีทำ 1.) หา gof

           R _f = R
           D_g= R - {3}

R _f∩ D_g  ≠ Ø แสดงว่าหา gof ได้

           (gof)(x) = g(f(x))

                        = g(3x-5)

                        =  1/(3x-5)-3 = 1/3x-8

ดังนั้น gof = {(x,y) | y = 1/3x-8}

(gof)(3) = g(f(3)) = g(4) = 1

           2.) หา fog

                     R_g ≠ 0

                     D_f= R

R_g∩ D_f ≠ Ø แสดงว่าหา fog ได้

(fog)(x) = f(g(x)) = f(1/x-3)

             = 3(1/x-3)-5 = (3/x-3)-5

(fog)(x) = 18-5x/x-3

     fog   = {(x,y) | y = 18-5x/x-3}
(fog)(2) = 18-5(2)/2-3 = 18-10/-1

             = -8

1. บอกได้ว่าจะหาฟังก์ชันคอมโพสิทของฟังก์ชัน 2 ฟังก์ชันที่กำหนดได้หรือไม่
2. หาฟังก์ชันคอมโพสิทของฟังก์ชัน 2 ฟังก์ชันที่กำหนดให้

ให้ f และ g เป็นฟังก์ชัน ดังภาพประกอบ

จากแผนภาพจะได้ f(1) =a , f(2) =c , f(3) = b , g(a) = p , g(b) = p , g(c)= q
จาก f และ g ที่กำหนดให้จะได้
         g(f(1)) = g(a) = p         g(f(2)) = g(c) = q               g(f(3)) = g(b) = p
อาจสร้างฟังก์ชันขึ้นมาใหม่เรียกว่า ""ฟังก์ชันคอมโพสิท gof (อ่านว่า จีโอเอฟ )"เป็นฟังก์ชันจาก A ไป C กำหนดโดย
         (gof)(1) = g(f(1))          (gof)(2) = g(f(2))         (gof)(3) = g(f(3))
ดังนั้น    (gof)(1) = p               (gof)(2) = q              (gof)(3) = p

จากแผนภาพถ้ามี y ซึ่ง y = f(x) และ z = g(y) ซึ่งจะหาค่า g(f(x)) ได้ เท่ากับ z กล่าวได้ว่าจะเกิด gof เพราะฉะนั้น การเกิด

gof มีเงื่อนไขสำคัญ คือ ต้องมี y อยู่ใน R_fและ D_gพร้อมกัน นั่นคือ R_fD_gต้องไม่ใช่เซตว่าง

ฟังก์ชันคอมโพสิท

เป็นการกระทำกันระหว่างฟังก์ชันตั้งแต่ 2 ฟังก์ชันขึ้นไป

ให้ f และ g เป็นฟังก์ชัน และ R _f∩ D_g ฟังก์ชันคอมโพสิทของ f และ g
เขียนแทนด้วย gof กำหนด (gof)(x) = g(f(x)) ซึ่ง f(x) ∈ D_g

แบบฝึกหัด

เฉลยแบบฝึกหัด

ที่มา http://math-for-friends.blogspot.com/2011/01/part1-by-got.html

http://dit.dru.ac.th/function/detial3.html#ex5p87.html

http://www.youtube.com/watch?v=vFAqwn9mq24

วันที่ 25/9/2556

ฟังก์ชัน

"f(x)" เปลี่ยนทางมาที่นี่ สำหรับวงดนตรีเกาหลี ดูที่ เอฟ (เอกซ์)

ในคณิตศาสตร์ ฟังก์ชัน คือ ความสัมพันธ์ จาก เซต หนึ่ง (โดเมน) ไปยังอีกเซตหนึ่ง (โคโดเมน ไม่ใช่ เรนจ์) โดยที่สมาชิกตัวหน้าไม่ซ้ำกัน ความคิดรวบยอดของฟังก์ชันนี้เป็นพื้นฐานของทุกสาขาของคณิตศาสตร์และวิทยาศาสตร์เชิงปริมาณ

แนวคิด

แนวคิดที่สำคัญที่สุดคือ ฟังก์ชันนั้นเป็น "กฎ" ที่กำหนด ผลลัพธ์โดยขึ้นกับสิ่งที่นำเข้ามา ต่อไปนี้เป็นตัวอย่าง

· แต่ละคนจะมีสีที่ตนชอบ (แดง, ส้ม, เหลือง, เขียว, ฟ้า, น้ำเงิน, คราม หรือม่วง) สีที่ชอบเป็นฟังก์ชันของแต่ละคน เช่น จอห์นชอบสีแดง แต่คิมชอบสีม่วง ในที่นี้สิ่งที่นำเข้าคือคน และผลลัพธ์คือ 1 ใน 8 สีดังกล่าว

· มีเด็กบางคนขายน้ำมะนาวในช่วงฤดูร้อน จำนวนน้ำมะนาวที่ขายได้เป็นฟังก์ชันของอุณหภูมิภายนอก ตัวอย่างเช่น ถ้าภายนอกมีอุณหภูมิ 85 องศา จะขายได้ 10 แก้ว แต่ถ้าอุณหภูมิ 95 องศา จะขายได้ 25 แก้ว ในที่นี้ สิ่งที่นำเข้าคืออุณหภูมิ และผลลัพธ์คือจำนวนน้ำมะนาวที่ขายได้

· ก้อนหินก้อนหนึ่งปล่อยลงมาจากชั้นต่างๆของตึกสูง ถ้าปล่อยจากชั้นที่สอง จะใช้เวลา 2 วินาที และถ้าปล่อยจากชั้นที่แปด จะใช้เวลา (เพียง) 4 วินาที ในที่นี้ สิ่งนำเข้าคือชั้น และผลลัพธ์คือระยะเวลาเป็นวินาทีฟังก์ชันนี้อธิบายความสัมพันธ์ระหว่าง เวลาที่ก้อนหินใช้ตกถึงพื้นกับชั้นที่มันถูกปล่อยลงมา (ดู ความเร่ง)

"กฎ" ที่นิยามฟังก์ชันอาจเป็น สูตร, ความสัมพันธ์ (คณิตศาสตร์) หรือเป็นแค่ตารางที่ลำดับผลลัพธ์กับสิ่งที่นำเข้า ลักษณะเฉพาะที่สำคัญของฟังก์ชันคือมันจะมีผลลัพธ์เหมือนเดิมตลอดเมื่อให้สิ่งนำเข้าเหมือนเดิม ลักษณะนี้ทำให้เราเปรียบเทียบฟังก์ชันกับ "เครื่องกล" หรือ "กล่องดำ" ที่จะเปลี่ยนสิ่งนำเข้าไปเป็นผลลัพธ์ที่ตายตัว เรามักจะเรียกสิ่งนำเข้าว่า อาร์กิวเมนต์ (argument) และเรียกผลลัพธ์ว่า ค่า (value) ของฟังก์ชัน

ชนิดของฟังก์ชันธรรมดาเกิดจากที่ทั้งอาร์กิวเมนต์และค่าของฟังก์ชันเป็นตัวเลขทั้งคู่ ความสัมพันธ์ของฟังก์ชันมักจะเขียนในรูปสูตร และจะได้ค่าของฟังก์ชันมาทันทีเพียงแทนที่อาร์กิวเมนต์ลงในสูตร เช่น

F(x) = xˆ2

ซึ่งจะได้ค่ากำลังสองของ x ใดๆ

โดยนัยทั่วไปแล้ว ฟังก์ชันจะสามารถมีได้มากกว่าหนึ่งอาร์กิวเมนต์ เช่น

G(x,y) = xy

เป็นฟังก์ชันที่นำตัวเลข x และ y มาหาผลคูณ ดูเหมือนว่านี่ไม่ใช่ฟังก์ชันจริงๆดังที่เราได้อธิบายข้างต้น เพราะว่า "กฎ" ขึ้นอยู่กับสิ่งนำเข้า 2 สิ่ง อย่างไรก็ตาม ถ้าเราคิดว่าสิ่งนำเข้า 2 สิ่งนี้เป็น คู่อันดับ(x,y) 1 คู่ เราก็จะสามารถแปลได้ว่า g เป็นฟังก์ชัน โดยที่อาร์กิวเมนต์คือคู่อันดับ (x,y) และค่าของฟังก์ชันคือ xy

ในวิทยาศาสตร์ เรามักจะต้องเผชิญหน้ากับฟังก์ชันที่ไม่ได้กำหนดขึ้นจากสูตร เช่นอุณหภูมิบนพื้นผิวโลกในเวลาใดเวลาหนึ่ง นี่เป็นฟังก์ชันที่มีสถานที่และเวลาเป็นอาร์กิวเมนต์ และให้ผลลัพธ์เป็นอุณหภูมิของสถานที่และเวลานั้นๆ

เราได้เห็นแล้วว่าแนวคิดของฟังก์ชันไม่ได้จำกัดอยู่แค่การคำนวณด้วยตัวเลขเท่านั้น และไม่ได้จำกัดอยู่แค่การคำนวณด้วย แนวคิดของคณิตศาสตร์เกี่ยวกับฟังก์ชัน เป็นแนวคิดโดยทั่วไปและไม่ได้จำกัดอยู่แค่สถานการณ์ที่เกี่ยวข้องกับตัวเลขเท่านั้น แน่นอนว่าฟังก์ชันเชื่อมโยง "โดเมน" (เซตของสิ่งนำเข้า) เข้ากับ "โคโดเมน" (เซตของผลลัพธ์ที่เป็นไปได้) ดังนั้นสมาชิกแต่ละตัวของโดเมนจะจับคู่กับสมาชิกตัวใดตัวหนึ่งของโคโดเมนเท่านั้น ฟังก์ชันนั้นนิยามเป็นความสัมพันธ์ที่แน่นอน ดังที่จะกล่าวต่อไป เป็นเหตุจากลักษณะทั่วไปนี้ แนวคิดรวบยอดของฟังก์ชันจึงเป็นพื้นฐานของทุกสาขาในคณิตศาสตร์

ประวัติ

ในทางคณิตศาสตร์ "ฟังก์ชัน" บัญญัติขึ้นโดย ไลบ์นิซ ใน พ.ศ. 2237 เพื่ออธิบายปริมาณที่เกี่ยวข้องกับเส้นโค้ง เช่น ความชันของเส้นโค้ง หรือจุดบนเส้นโค้ง ฟังก์ชันที่ไลบ์นิซพิจารณานั้นในปัจจุบันเรียกว่า ฟังก์ชันที่หาอนุพันธ์ได้ และเป็นชนิดของฟังก์ชันที่มักจะแก้ด้วยผู้ที่ไม่ใช่นักคณิตศาสตร์ สำหรับฟังก์ชันชนิดนี้ เราสามารถพูดถึงลิมิตและอนุพันธ์ ซึ่งเป็นการทฤษฎีเซต พวกเขาได้พยายามนิยามวัตถุทางคณิตศาสตร์ทั้งหมดด้วยเซต ดีริคเลท และ โลบาเชฟสกี ได้ให้นิยามสมัยใหม่ของฟังก์ชันออกมาเกือบพร้อมๆกัน

ในคำนิยามนี้ ฟังก์ชันเป็นเพียงกรณีพิเศษของความสัมพันธ์ อย่างไรก็ตาม เป็นกรณีที่มีความน่าสนใจเป็นพิเศษ ความแตกต่างระหว่างคำนิยามสมัยใหม่กับคำนิยามของออยเลอร์นั้นเล็กน้อยมาก

แนวคิดของ ฟังก์ชัน ที่เป็นกฎในการคำนวณ แทนที่เป็นความสัมพันธ์ชนิดพิเศษนั้น อยู่ในคณิตตรรกศาสตร์ และวิทยาการคอมพิวเตอร์เชิงทฤษฎี ด้วยหลายระบบ รวมไปถึง แคลคูลัสแลมบ์ดา ทฤษฎีฟังก์ชันเวียนเกิด และเครื่องจักรทัวริง

ความหมายของฟังก์ชัน จากความรู้เรื่องความสัมพันธ์

1. กำหนดให้

r₁ = { (0,1), (1,2), (2,3), (1,1), (0,4) }

r₂= { (0,3), (1,1), (2,1), (3,4) }

ถ้าต้องการแสดงว่าสมาชิกใดของโดเมนมีความสัมพันธ์กับสมาชิกใดของเรนจ์อาจจะใช้วิธี

เขียนลูกศรโยงเรียกว่าการจับคู่ เช่นจากความสัมพันธ์ r₁ และ r₂เขียนแผนภาพแสดงการจับคู่ได้ดังนี้

การจับคู่ระหว่างสมาชิกในโดเมนและเรนจ์ของความสัมพันธ์ r₁ และ r₂ มีข้อแตกต่างกันคือ

ใน r₁ มีคู่อันดับที่สมาชิกตัวหน้าเหมือนกัน แต่สมาชิกตัวหลังต่างกัน คือ (0,1) กับ (0,4) และ

(1,1) กับ (1,2) ส่วนใน r₂ สมาชิกตัวหน้าของแต่ละคู่อันดับไม่เหมือนกันเลย นั่นคือแต่ละสมาชิก

ในโดเมนของ r₂ จะจับคู่กับสมาชิกในเรนจ์ของ r₂ เพียงตัวเดียวเท่านั้น

ความสัมพันธ์ที่มีลักษณะดังใน (1), (2) และความสัมพันธ์ r₂ ใน (3) เรียกว่า ฟังก์ชัน

จากบทนิยามกล่าวได้ว่า ฟังก์ชัน f คือ ความสัมพันธ์ ซึ่งถ้ามี (x,y)Є f และ (x,z)Є f แล้ว

y = z

r₂, r₃เป็นฟังก์ชัน เพราะไม่มีคู่อันดับใดที่มีสมาชิกตัวหน้าเหมือนกันเลย

ความสัมพันธ์ที่เขียนแบบแจกแจงสมาชิกนั้น ถ้าสมาชิกตัวหน้าของแต่ละคู่อันดับไม่เหมือน
กันเลย สรุปได้ว่าความสัมพันธ์นั้นเป็นฟังก์ชัน การพิจารณาว่าความสัมพันธ์ r ซึ่งเขียนแบบบอกเงื่อนไข

เป็นฟังก์ชันหรือไม่อาจใช้วิธีการดังนี้

จากรูป ถ้าลากเส้นขนานกับแกน Y ให้ตัดกราฟแล้ว เส้นขนานกับแกน Y จะตัดกราฟของ r₁ และ r₂
เพียงจุดเดียวเท่านั้น ดังนั้น r₁ และ r₂ เป็นฟังก์ชัน
ในกรณีที่ความสัมพันธ์เป็นฟังก์ชันเรียกโดเมนและเรนจ์ของความสัมพันธ์นั้นว่า โดเมนและเรนจ์ของ
ฟังก์ชันตามลำดับ
พิจารณาโดเมนและเรนจ์ของฟังกชันที่ได้จากการจับคู่ระหว่างสมาชิกของเซต A และเซต B ดัง

ตัวอย่างต่อไปนี้

ตัวอย่างที่ 6

ตัวอย่างที่ 7

ตัวอย่างที่ 8

ตัวอย่างที่ 9

จากตัวอย่างที่ 6, 7, 8 และ 9 จะเห็นว่าโดเมนของฟังก์ชันคือ A และเรนจ์ของฟังก์ชันเป็นสับเซตของ B

ฟังก์ชันในตัวอย่างดังกล่าวนี้เรียกว่า ฟังก์ชันจาก A ไป B ( function from A into B )

โดยทั่วไปเมื่อกล่าวว่า f เป็นฟังก์ชัน จะหมายถึงฟังก์ชันจากสับเซตของ R ไป R

จากตัวอย่างที่ 7 และ 9 จะเห็นว่า โดเมนของฟังก์ชันคือ A และ เรนจ์ของฟังก์ชันคือ B

เรียกฟังก์ชันที่มีสมบัติเช่นนี้ว่า

ฟังก์ชันจาก A ไปทั่วถึง B ( function from A onto B )

จากตัวอย่างที่ 8 และ 9 จะเห็นว่าสมาชิกแต่ละตัวของ B ที่ถูกจับคู่ จะถูกจับคู่โดยสมาชิกของ A เพียง

ตัวเดียวเท่านั้น เรียกฟังก์ชันที่มีสมบัติเช่นนี้ว่า ฟังก์ชันหนึ่งต่อหนึ่ง (one-to-one function)

การพิจารณาว่าฟังก์ชันใดเป็นฟังก์ชันหนึ่งต่อหนึ่งหรือไม่ อาจจะพิจารณา โดยปรับบทนิยามให้สะดวก

ต่อการพิจารณาดังนี้

ในการพิจารณาฟังก์ชันที่กำหนดให้ว่าเป็นฟังก์ชันเพิ่มหรือลดในเซตที่กำหนดให้

ถ้าพบว่าไม่ใช่ฟังก์ชันเพิ่ม(หรือลด) จะสรุปว่าเป็นฟังก์ชันลด(หรือเพิ่ม)ไม่ได้

ต้องทำการตรวจสอบว่าเป็นฟังก์ชันลด(หรือเพิ่ม)หรือไม่ ตามบทนิยาม

และที่สำคัญจะต้องไม่เรียกฟังก์ชันที่ไม่ใช่ฟังก์ชันเพิ่ม(หรือลด) ว่าฟังก์ชันไม่เพิ่ม(หรือไม่ลด)

เพราะคณิตศาสตร์มีบทเรียนเรื่องนี้อยู่ด้วย แต่เกรงว่าจะเป็นเรื่องที่ทำให้สับสนจึงไม่ได้เสนอไว้ในบทเรียนนี้

1.ฟังก์ชัน คือ ความสัมพันธ์ที่สมาชิกแต่ละตัวในโดเมนของความสัมพันธ์นั้นไปจับคู่สมาชิกในเรนจ์

เพียงตัวเดียวเท่านั้น

2. ความสัมพันธ์จะไม่เป็นฟังก์ชันก็ต่อเมื่อ มีสมาชิกบางตัวในโดนเมนของความสัมพันธ์นั้นไปจับคู่

สมาชิกในเรนจ์มากกว่าหนึ่งตัว

3. ความสัมพันธ์ที่เป็นฟังก์ชัน จะมีลักษณะการจับคู่ของสมาชิกในโดเมนกับสมาชิกในเรนจ์ 2 แบบดังนี้

4. ความสัมพันธ์ที่ไม่เป็นฟังก์ชัน จะมีลักษณะการจับคู่ของสมาชิกในโดเมนกับสมาชิกในเรนจ์

ดังนี้ one to many

5. ค่าของฟังก์ชัน f ที่ x

นิยาม ค่าฟังก์ชัน f ที่ x หมายถึง ค่า y ของฟังก์ชัน f ที่ x เขียนแทนด้วยสัญลักษณ์ f(x)

ตัวอย่าง f(1) หมายถึง ค่า y ของฟังก์ชัน f เมื่อ x=1

h(-3) หมายถึง ค่า y ของฟังก์ชัน g เมื่อ x=2

หมายเหตุ

1. ถ้าโจทย์กำหนดว่า f(1) =2 ต้องรู้เองว่า ในฟังก์ชัน f ถ้า x=1 จะได้ y=2 หรือ (1,2) ....f

2. ถ้าโจทย์กำหนด f ={(1,a),(2,b),(3,c)} หมายถึง f(1) = a, f(2) = b,f(3) = c

6.จากบทนิยาม กล่าวง่าย ๆ ฟังก์ชันหนึ่งต่อหนึ่ง คือฟังก์ชันที่สมาชิกแต่ละตัวในเรนจ์ของฟังก์ชันนั้น

มีสมาชิกในโดเมนเพียงตัวเดียวเท่านั้นมาจับคู่ และฟังก์ชันที่ไม่เป็น 1-1 ก็ต่อเมื่อ มีสมาชิกบางตัวในเรนจ์

ของฟังก์ชันนั้นที่มีสมาชิกในโดเมนมากกว่าหนึ่งตัวมาจับคู่

7. วิธีการตรวจสอบว่าเป็นฟังก์ชัน 1-1 หรือไม่

1. ถ้ากำหนดฟังก์ชันแบบแจกแจงสมาชิก
วิธีการตรวจสอบ "ให้ดูที่สมาชิกตัวหลังของคู่อันดับ"
ถ้าไม่ซ้ำกัน แสดงว่าฟังก์ชันเป็นแบบ1-1

ถ้ามีซ้ำกัน แสดงว่าไม่ใช่ฟังก์ชัน 1-1

ตัวอย่างโจทย์ f(1) = {(1,2),(1,3),(2,2),(3,4)}

จะเห็นว่ามีสมาชิกอยู่ 2 คู่ ที่มีสมาชิกตัวหลังซ้ำกัน สรุปได้ว่าไม่ฟังก์ชันเป็นแบบ 1-1

2. ถ้ากำหนดแบบบอกเงื่อนไข

วิธีตรวจสอบ "ให้สมมติให้ค่า y ที่อยู่ในเรนจ์ของฟังก์ชันนั้นขึ้นมา 1 ค่า แทนลงในเงื่อนไขของฟังก์ชัน

แล้วหาค่า x ออกมา"

ถ้าได้ค่า x ค่าเดียว แสดงว่า ฟังก์ชันนั้นเป็นแบบ 1-1

ถ้าได้ค่า x มากกว่า 1 ค่า แสดงว่าไม่เป็นแบบ 1-1

3. ถ้ากำหนดเป็นกราฟ
วิธีการตรวจสอบ "ให้ลากเส้นตรงตั้งฉากกับแกน y ตัดกราหของฟังก์ชันนั้น"
ถ้าตัดกราฟเพียงจุดเดียว แสดงว่าเป็นฟังก์ชัน 1-1

ถ้าตัดกราฟมากกว่า 1 จุด แสดงว่า ไม่เป็นฟังก์ชัน 1-1

ฟังก์ชัน

ฟังก์ชันหนึ่งต่อหนึ่ง (1-1) ฟังก์ชันจะคืนค่าที่ไม่เหมือนกันหากนำเข้าค่าคนละค่ากัน กล่าวคือ ถ้า x₁ และ x₂ เป็นสมาชิกของโดเมนของ f แล้ว f (x₁) = f (x₂) ก็ต่อเมื่อ x₁ = x₂