จำนวนจริง
จำนวนจริง
เซตของจำนวนจริงประกอบด้วยสับเซตที่สำคัญ ได้แก่
- เซตของจำนวนนับ/
เซตของจำนวนเต็มบวก เขียนแทนด้วย I
I
= {1,2,3…}
- เซตของจำนวนเต็มลบ เขียนแทนด้วย I
- เซตของจำนวนเต็ม
เขียนแทนด้วย I
I = { …,-3,-2,-1,0,1,2,3…}
- เซตของจำนวนตรรกยะ : เซตของจำนวนจริงที่สามารถเขียนได้ในรูปเศษส่วน โดยที่ a,b เป็นจำนวนเต็ม และ b = 0
ตัวอย่างจำนวนอตรรกยะ
=
1.4142135… มีค่าประมาณ 1.414
=
1.4422495… มีค่าประมาณ 1.442
=
-0.8660254… มีค่าประมาณ -0.866
=
3.14159265… มีค่าประมาณ 3.1416
สมบัติของจำนวนจริงเกี่ยวกับการบวกและการคูณ
1) สมบัตของการเท่ากันในระบบจำนวนจริง
เมื่อ a, b , c เป็นจำนวนจริงใดๆ
(1) สมบัติการสะท้อน a = a
(2) สมบัติการสมมตรา ถ้า a = a แล้ว b
= c
(3) สมบัติการถ่ายทอด ถ้า a = a และb =
c แล้ว a = c
(4) สมบัติการบวกด้วยจำนวนที่เท่ากัน
ถ้า a
= b แล้ว a+c = b+ c
(5)
สมบัติการคูณด้วยจำนวนที่เท่ากัน
ถ้า a = b แล้ว ac
= bc
สมบัติการบวกและการคูณจำนวนจริง
ถ้า a, b, c เป็นจำนวนจริงใดๆ
- การลบและการหารจำนวนจริง
การนำสมบัติของจำนวนจริงไปใช้ในการแก้สมการกำลังสอง
ตัวแปร : อักษรภาษาอังกฤษตัวเล็ก เช่น x , y ที่ใช้เป็นสัญลักษณ์แทนจำนวน
ค่าคงตัว : ตัวเลขที่แททนจำนวน เช่น 1, 2
นิพจน์ : ข้อความในรูปสัญลักษณื เช่น 2, 3x ,x-8 ,
เอกนาม : นิพจน์ที่เขียนอยู่ในรูปการคูณของค่าคงตัวแปรตั้งแต่หนึ่งตัวขึ้นไปที่มีเลขชี้ กำลังของตัวแปรเป็นจำนวนเต็มบวกหรือศูนย์ เช่น -3, 5xy , 2y
พหุนาม : นิพจน์ที่สามารถเขียนในรูปของเอกนาม หรือการบวกเอกนามตั้งแต่สองเอก นามขึ้นไป เช่น 3x , 5x +15xy+10x+5
ดีกรีของเอกนาม : ดีกรีสูงสุดของเอกนามในพหุนามนั้น
เช่น x+2xy+1 เป็นพหุนามดีกรี 3
การแยกตัวประกอบของพหุนาม
พหุนามดีกรีสองตัวแปรเดียว : พหุนามที่เขียนได้ในรูป ax
+ bx +c = 0 เมื่อค่าคงตัวที่ a ≠ 0 และ x เป็นตัวแปร
- การแยกตัวประกอบของ x +bx +c = 0 เมื่อ b , c เป็นค่าคงตัวที่ c = 0
ทำได้โดยการาจำนวน d และ e ที่ de = c และ d+c = b ทำให้ x +bx + c = (x+d)(x+c)
เช่น จงแยกตัวประกอบของ x +7x + 12
จัดพหุนามให้อยู่ในรูป x +(d+e)x+de
นั้นคือ หาจำนวนสองจำนวนที่คูณกันได้ 10 และบวกกันได้ 7
ซึ่งก็คือ 5 และ 2
จะได้ (5)(2) = 10 และ5+2 = 7
ดั้งนั้น x+7x+10= (x+5) (x+2)
การแยกตัวประกอบของพหุนามในรูป ax +bx +c เมื่อ a, b , c , เป็นค่าคงตัว และ a ≠0 ,c ≠ 0
เช่น 4x-4x+1 ทำได้ดังนี้
1)
หาพหุนามดีกรีหนึ่งพหุนามที่คูณกันได้ 4x มี(2x)(2x)หรือ (4x)(x)
เขียนสองพหุนามที่ได้ให้เป็นพจน์หน้าของผลคูณของพหุนามใหม่ดังนี้
(2x )(2x )หรือ(4x )(x )
2.)หาจำนวน 2
จำนวนที่คูณกันได้ 1 ซึ่งได้แก่ (1)(1) หรือ (-1)(-1)
เขียนจำนวนทั้งสองเป็นพจน์หลังของพหุนามในข้อ 1) ดังนี้
(2x+1)(2x+1) หรือ (4x+1)(x+1)
(2x-1)(2x-1) (4x-1)(x-1)
3)หาพจน์กลางของพหุนามจากผลคูณของพหุนามแต่ละคู่ในข้อ
2 ) ที่มีผลบวกเท่ากับ -4x
ดั้งนัน พหุนาม 4x -4x-1 = (2x-1)(2x-1)=(2x-1)
การแยกตัวประกอบของพหุนามที่เป็นกำลังสองสมบูรณ์
กำลังสองสมบูรณ์ : พหุนามดีกรีสองสมบูรณ์ที่แยกตัวประกอบแล้วได้ตัวประกอบเป็นพหุนามดีกรีหนึ่งซ้ำกัน
เช่น
x+2ax+4
= (x+2)(x+2) = (x+2)
x-4x+4
= (x-2)(x-2) = (x-2)
ในกรณีทั่วไปพหุนามดีกรีกำลังสองสมบูรณ์ แยกตัวประกอบได้ดังนี้
x-2ax+a
= (x-a)
x+6x+9
= (x+3)
x-2ax+a
= (x-2)
x-8x+16
= (x-4)
การแยกตัวประกอบโดยการทำให้เป็นกำลังสองสมบูรณ์
พหุนาม x+bx+c เช่น x+2x-5 ทำให้เป็นกำลังสองสมบรูณ์ดังนี้
X+2x-5 = ( x+2x)-5
= (x+2x+1)-5-1
= (x+1) -6
ดั้งนั้น x+2x-5 = (x+1)-6
จาก x-a = (x-a)(x+a)
จะได้ (x+1)-6 = ((x+1)- 6 )((x+1)+ 6 )
การแก้สมการกำลังสองสมบูณณ์
การแก้สมการหรือการหาคำตอบของสมการสองตัวแปรเดียว การหาคำตอบของสมการที่เขียนอยู่ในรูป ax+bx+c
= 0 เมื่อ a b c เป็นค่าคงตัว
และ a = 0ทำได้โดยอาศัยความรู้เกี่ยวกับจำนวนจริง
ดังนี้
“ถ้า a และ b เป็นจำนวนจริง และab = 0 แล้ว a =
0”
การหาคำตอบของสมการ : การหาจำนวนที่นำไปแทน x ในสมการแล้วได้สมการที่เป็นจริง
การแก้สมการกำลังสองโดยวิธีการแยกตัวประกอบ
เช่น แยกตัวประกอบของ x-4x+3 = 0
วิธีทำ แยกตัวประกอบของ x-4x+3
จะได้ (x-3)(x-1)
หาคำตอบของสมการ (x-3)(x-1) =
0
โดยหา x ที่ทำให้ x-3 =
0 หรือ x-1= 0
นั่นคือ x=
0 หรือ x= 1
ตรวจคำตอบ โดยแทนค่า x ในการ x-4x+3 = 0 ด้วย 1หรือ 3
เมื่อแทนค่า x ด้วย 1 จะได้
(1)-4 (1)+3 =
0 ซึ่งเป็นจริง
เมื่อแทนค่า x ด้วย 3 จะได้
(3)-4(3)+3 =
0 ซึ่งเป็นจริง
ดังนั้น 1 และ3 เป็นคำตอบของสมการ x -4x+3 =0
การไม่เท่ากัน
การเปรียบเทียบจำนวนสองจำนวนว่ามากกว่าหรือน้อยกว่าได้
โดยเขียนอยู่ในรูปประโยคสัญลักษณ์ เช่น n แทนจำนวนเต็ม
n > 5 หมายถึง จำนวนเต็มทุกจำนวนที่มากกว่า 5 เช่น 6 ,7 ,8 ,...
n ≤ 1 หมายถึง จำวนเต็มทุกจำนวนที่น้อยกว่าหรือเทท่ากับ 1 เช่น 1 ,0 ,-1 ,-2, ...
n = 4 หมายถึง
จำนวนทุกจำนวนที่ไม่เท่ากับ 4 เช่น ... ,- 2 ,-1 ,0 ,1 ,2 ,3 ,5 ,6 ,...
อสมการ : ประโยคที่มีสัญาลักษณ์ หรือ = แสดงการเปรียบเทียบจำนวนสองจำนวน
คำตอบของอสมการ : จำนวนที่แทนตัวแปรได้อสมการที่เป็นจริง
เซตคำตอบของอสมการ : การหาคำตอบของอสมการ
โดยอาศัยสมบัติของการไม่เท่ากัน
1) สมบัติของการไม่เท่ากันในระบบจำนวนจริง
ให้ a, b, c เป็นจำนวนจริงใดๆ
(1)
สมบัติการถ่ายทอด ถ้า a b และ b c แล้ว a c
(2)
สมบัติการบวกด้วยจำนวนที่เท่ากัน ถ้า a b แล้ว a+c b +c
(3)
สมบัติการคูณด้วยจำนวนที่เท่ากันที่น้อยกว่าศูนย์
ถ้า a b และ c 0 แล้ว ac bc
(5)
สมบัติการตัดต่อออกสำหรับการบวก
ถ้า a+ b b+c แล้ว a b
(6) สมบัติการตัดออกสำหรับการคูณ
ถ้า ac bc
c และ c 0 แล้ว a b
ถ้า ac bc และ c 0 แล้ว a b
NOTE
สมบัติการคูณด้วยจำนวนลบและการหารด้วยจำนวนลบจะทำให้เครื่องหมายของอสมการเปลี่ยปลงไป ดังนี้
1. เปลี่นเป็น เช่น 2 1 คูณด้วย -1 จะได้ (-1)(2) (-1)(1)
2. เปลี่ยเป็น เช่น ให้ a 10 คูณด้วย -1 จะได้ (-1)(a) (-1)(10)
3. เปลี่ยนเป็น เช่น ให้ -1 1 คูณด้วย -1 จะได้(-1)(-1) (-1)(1)
4. เปลี่ยนเป็น เช่น ให้ a 5 คูณด้วย จะได้ (-1)(a) (-1)(5)
|
ช่วงของจำนวนจริง
|
|
กำหนดให้ a, b เป็นจำนวนจริง
และ a < b
|
|
การแก้อสมการ
|
|
|
อสมการ คือ ประโยคสัญลักษณ์ที่กล่าวถึงความสัมพันธ์ของตัวแปร
กับจำนวนใดๆ โดยใช้เครื่องหมาย ≠ , ≤ ,≥ , < , > , เป็นตัวระบุความสัมพันธ์ของตัวแปร
และจำนวนดังกล่าว
|
|
|
คำตอบของอสมการ
คือ ค่าของตัวแปรที่ทำให้อสมการเป็นจริง
|
|
|
เซตคำตอบของอสมการ
คือ เซตของค่าตัวแปรทั้งหมดที่ทำให้อสมการเป็นจริง
|
|
|
หลักในการแก้อสมการเชิงเส้นตัวแปรเดียว
|
|
|
เราอาศัยสมบัติของการไม่เท่ากันในการแก้อสมการ
เช่น
|
|
|
1. สมบัติการบวกด้วยจำนวนที่เท่ากัน
|
|
|
ถ้า a > b แล้ว a
+ c > b + c
|
|
|
2. สมบัติการคูณด้วยจำนวนที่เท่ากัน
|
|
|
ถ้า a > b และ c
> 0 แล้ว ac > bc
|
|
|
ถ้า a > b และ c
< 0 แล้ว ac < bc
ตัวอย่างของจำนวนจริง
|
|
ระบบจำนวนจริง
จำนวนจริง คือจำนวนที่สามารถจับคู่หนึ่งต่อหนึ่งกับจุดบนเส้นตรงที่มีความยาวไม่สิ้นสุด
(เส้นจำนวน) ได้ คำว่า จำนวนจริง นั้นบัญญัติขึ้นเพื่อแยกเซตนี้ออกจากจำนวนจินตภาพ จำนวนจริงเป็นศูนย์กลางการศึกษาในสาขาคณิตวิเคราะห์จำนวนจริง
แบบฝึกหัดเรื่องจำนวนจริง
เฉลย
วันที่ 23/9/2556
ไม่มีความคิดเห็น:
แสดงความคิดเห็น