คณิตศาสตร์น่ารู้ (Mathematics Education)

ฟังก์ชันคอมโพสิท (Composite Function)

เป็นการกระทำกันระหว่างฟังก์ชันตั้งแต่ 2 ฟังก์ชันขึ้นไป

ให้ f และ g เป็นฟังก์ชัน สำหรับฟังก์ชันที่เป็นเซตแบบแจกแจงเช่น

   f = {(1,3),(2,4),(3,5)}

   g = {(5,1),(3,2),(4,3)}

เราสามารถสร้างฟังก์ชันขึ้นมาใหม่ เรียกว่า gof (จีโอเอฟ) แต่ผมมักจะเรียกไปเลยว่า ก็อฟ

gof เป็นฟังก์ชันจาก f ไปยัง g

จะได้       gof = {(1,2),(2,4),(3,1)}

(gof)(1) = g(f(1)) = g(3) = 2

(gof)(2) = g(f(2)) = g(4) = 3

(gof)(3) = g(f(3)) = g(5) = 1

นิยาม ให้ f และ g เป็นฟังก์ชัน และ R _f∩ D_g ฟังก์ชันคอมโพสิทของ f และ g
เขียนแทนด้วย gof  กำหนด (gof)(x) = g(f(x)) ซึ่ง f(x) ∈ D_g

ตัวอย่างที่ 1 กำหนด f = {(1,2),(3,4),(5,6),(7,8)}

                                  g = {(2,a),(4,b),(7,c),(8,d)}

จงหา (gof)(1) , (gof)(3) , (gof)(7) พร้อมทั้งหา gof และ fog

วิธีทำ   gof เป็นฟังก์ชัน จาก f ไป g

R _f = {2,4,6,8} ,  D_g= {2,4,7,8}

R _f∩ D_g= {2,4,8}  ≠ Ø แสดงว่าหา gof ได้

(gof)(1) = g(f(1)) = g(2) = a

(gof)(3) = g(f(3)) = g(4) = b

(gof)(7) = g(f(7)) = g(8) = d

ดังนั้นจะได้ gof = {(1,a),(3,b),(7,d)}

fog เป็นฟังก์ชันจาก g ไป f

R_g= {a,b,c,d} ,  D_f={1,3,5,7}

R_g∩ D_f = Ø

แสดงว่าหา fog   ไม่ได้

ตัวอย่างที่ 2 กำหนดให้ f(x) = 3x-5 , g(x) = 1/x-3

จงหา gof , fog , (gof)(3) , (fog)(2)

วิธีทำ 1.) หา gof

           R _f = R
           D_g= R - {3}

R _f∩ D_g  ≠ Ø แสดงว่าหา gof ได้

           (gof)(x) = g(f(x))

                        = g(3x-5)

                        =  1/(3x-5)-3 = 1/3x-8

ดังนั้น gof = {(x,y) | y = 1/3x-8}

(gof)(3) = g(f(3)) = g(4) = 1

           2.) หา fog

                     R_g ≠ 0

                     D_f= R

R_g∩ D_f ≠ Ø แสดงว่าหา fog ได้

(fog)(x) = f(g(x)) = f(1/x-3)

             = 3(1/x-3)-5 = (3/x-3)-5

(fog)(x) = 18-5x/x-3

     fog   = {(x,y) | y = 18-5x/x-3}
(fog)(2) = 18-5(2)/2-3 = 18-10/-1

             = -8

1. บอกได้ว่าจะหาฟังก์ชันคอมโพสิทของฟังก์ชัน 2 ฟังก์ชันที่กำหนดได้หรือไม่
2. หาฟังก์ชันคอมโพสิทของฟังก์ชัน 2 ฟังก์ชันที่กำหนดให้

ให้ f และ g เป็นฟังก์ชัน ดังภาพประกอบ

จากแผนภาพจะได้ f(1) =a , f(2) =c , f(3) = b , g(a) = p , g(b) = p , g(c)= q
จาก f และ g ที่กำหนดให้จะได้
         g(f(1)) = g(a) = p         g(f(2)) = g(c) = q               g(f(3)) = g(b) = p
อาจสร้างฟังก์ชันขึ้นมาใหม่เรียกว่า ""ฟังก์ชันคอมโพสิท gof (อ่านว่า จีโอเอฟ )"เป็นฟังก์ชันจาก A ไป C กำหนดโดย
         (gof)(1) = g(f(1))          (gof)(2) = g(f(2))         (gof)(3) = g(f(3))
ดังนั้น    (gof)(1) = p               (gof)(2) = q              (gof)(3) = p